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初三的幾何題@@ 尼條點做??教教我
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求証:如果一個四邊形有一個外接圓和一個內切圓,并且這兩個圓是同心圓,那麼這個四邊形是正方形 點樣証呀 ?? 幾何我最差 教教我 解答時 請詳細解釋及用中文回答
最佳解答:
設這個四邊形為ABCD，內切圓和外接圓的圓心為O。 因ABCD為圓內接四邊形，所以對角互補， 即 ∠A+∠C=180度、∠B+∠D=180度。 又因ABCD為圓外切四邊形，故O為四角的角平分線的交點。 於是 AO、BO、CO、DO為四角的角平分線。 因∠A+∠C=180度，故 ∠OBA+∠ODA=90度。 考慮ΔABD，∠A+∠OBA+∠ODA=180度 (Δ內角和) 故 ∠A = 90度。 同理，∠B=∠C=∠D = 90度。 即ABCD為一正方形。證畢。 2009-02-15 23:24:36 補充： 補充一點，AO、BO、CO、DO為角平分線這點可能未必一眼看出， 故你可以參考一下「三角形的內心」這個題目， 從而先出一多邊形若有內切圓，則圓心必定為角平分線的交點。 2009-02-15 23:32:11 補充： 還未做完，我只證明了是矩形，待我再補充。 謝謝 linch兄的提醒。 2009-02-15 23:38:03 補充： 其實證明了ABCD是矩形已經足以知道ABCD是正方形， 因為正方形是唯一可以有內切圓的四邊形。 2009-02-15 23:41:19 補充： 由於已經證明了ABCD是矩形，故AOC、BOD是直線且互相平分於O。 考慮ΔOAB，由於∠A=90°且AO是∠A的角平分線， 所以∠OAB=45°。同理，∠OBA=45°。 又由於∠OAB+∠OBA+∠AOB=180° (Δ內角和) 所以∠AOB=90°。即AC⊥BD。 由AC⊥BD，可知ABCD是菱形。 而唯一同時間是矩形又是菱形的四邊形就只有正方形，證畢。
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設這個四邊形為ABCD，內切圓和外接圓的圓心為O。 因ABCD為圓內接四邊形，所以對角互補， 即 ∠A+∠C=180度、∠B+∠D=180度。 又因ABCD為圓外切四邊形，故O為四角的角平分線的交點。 於是 AO、BO、CO、DO為四角的角平分線。 因∠A+∠C=180度，故 ∠OBA+∠ODA=90度。 考慮ΔABD，∠A+∠OBA+∠ODA=180度 (Δ內角和) 故 ∠A = 90度。 同理，∠B=∠C=∠D = 90度。 即ABCD為一正方形。證畢。 2009-02-15 23:24:36 補充： 補充一點，AO、BO、CO、DO為角平分線這點可能未必一眼看出， 故你可以參考一下「三角形的內心」這個題目， 從而先出一多邊形若有內切圓，則圓心必定為角平分線的交點。 2009-02-15 23:32:11 補充： 還未做完，我只證明了是矩形，待我再補充。 謝謝 linch兄的提醒。 2009-02-15 23:38:03 補充： 其實證明了ABCD是矩形已經足以知道ABCD是正方形， 因為正方形是唯一可以有內切圓的四邊形。 2009-02-15 23:41:19 補充： 由於已經證明了ABCD是矩形，故AOC、BOD是直線且互相平分於O。 考慮ΔOAB，由於∠A=90°且AO是∠A的角平分線， 所以∠OAB=45°。同理，∠OBA=45°。 又由於∠OAB+∠OBA+∠AOB=180° (Δ內角和) 所以∠AOB=90°。即AC⊥BD。 由AC⊥BD，可知ABCD是菱形。 而唯一同時間是矩形又是菱形的四邊形就只有正方形，證畢。
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